A documentação oficial da API (https://forum.mush.com.br/topic/149525/documentação-api-mush) traz o seguinte sobre o assunto:

• O endpoint de punições (/punishments) retorna a lista de punições de um período (day ou month), com filtro por tipo. Ele não é uma consulta por jogador. Segundo a própria documentação, ele não possui suporte oficial e pode ser alterado ou removido a qualquer momento.
• A documentação não menciona a contagem de bans e mutes de um jogador específico no endpoint de perfil (/player/{nameOrUuid}). Por isso, não posso afirmar que essa informação está disponível pela API.

Só consigo orientar com base nas informações desse tópico e não posso ajudar com a integração ou o uso da API. Se um dado não estiver descrito no tópico, você pode conferir diretamente em https://mush.com.br/api/player/NICKNAME_AQUI, substituindo NICKNAME_AQUI pelo nick do jogador.

Sobre o histórico de punições, o site público de punições é https://muu.sh/punicoes. Ali estão os dados públicos, como data e motivo divulgado. Detalhes internos, como quem aplicou a punição ou as evidências, não são divulgados.

Para outras dúvidas, crie um novo tópico.