Sim, disponibilizamos uma API pública do Mush. A documentação oficial dos endpoints está no tópico Documentação: API - Mush.

Nesse tópico, o endpoint de dados específicos do jogador aceita o tipo bedwars, que corresponde ao menu de compra rápida (quick buy) do Bed Wars. O formato da consulta é GET /player/{id_type}/{identifier}/{type}, com base em https://mush.com.br/api.

Não consigo ajudar com a integração ou com a forma de usar a API no seu projeto. Posso apenas orientar sobre o que consta na documentação acima.

Para outras dúvidas, crie um novo tópico.